Математика не для всех

Вообще, это ориентированный граф

И вы знаете Поэтому просто ещё раз обозначим, что промокод NETSIL скинет 5000 рублей при бронировании жилья на Яндекс Путешествиях. Забронировать #реклама travel.yandex.ru О рекламодателе

Ахах, но, как говорится, есть один математический нюансик...

Теорема Кронекера ✍️ Эта диаграмма иллюстрирует теорему Кронекера — один из самых прекрасных и удивительных результатов в математике. Она была открыта немецким математиком XIX века Леопольдом Кронекером в 1884 году. Теорема описывает замечательный узор, который проявляется, когда вы берёте определённые иррациональные числа, умножаете их на целые числа — один, два, три, четыре и так далее — и сохраняете только дробные части результатов, отбрасывая целочисленные части. Удивительный вывод заключается в том, что последовательность точек, которую вы генерируете, в конечном итоге равномерно заполняет всё многомерное пространство, приближаясь произвольно близко к любой возможной точке, не повторяясь никогда. На картинке показаны два визуальных примера: слева — двумерный квадрат, заполненный разбросанными синими точками, представляющими два иррациональных числа, а справа — трёхмерный куб, заполненный красными точками, представляющими три таких числа. В обоих примерах точки кажутся разбросанными по всему пространству без видимой кластеризации и без очевидных пустых зон, словно их посыпали случайно; однако на самом деле они генерируются полностью детерминированной математической процедурой. Теорема требует особого условия для выбранных иррациональных чисел: они должны быть "линейно независимыми над рациональными числами". Это просто означает, что между ними не может быть никаких скрытых простых связей. На практике это значит, что все числа должны быть иррациональными и действительно независимыми друг от друга, а не простыми кратными или комбинациями друг друга. Идеальный пример, удовлетворяющий этому условию, — это множество корней квадратных из двух, трёх и пяти. Когда это условие выполнено, последовательность точек, генерируемая процедурой, становится "плотной" в том, что математики называют единичным тором. Это по сути квадрат или куб с склеенными противоположными краями, подобно старым видеоиграм, где вылет с одной стороны экрана возвращает вас на другую. Термин «плотная» имеет точное и мощное значение: независимо от того, насколько малую целевую область вы нарисуете где угодно в пространстве, какая-то точка последовательности в итоге окажется внутри неё. Нет такой области, которую последовательность навсегда избегает, или такой щели, которую она не посетит при достаточном времени. Условие линейной независимости жизненно важно для теоремы. Без него всё рушится. Если иррациональные числа имеют скрытые связи, последовательность точек будет ограничена особыми линиями или кривыми вместо того, чтобы свободно распространяться, оставляя большие области пространства навсегда пустыми. Теорема прекрасно показывает, как кажущийся произвольным выбор нескольких подходяще независимых иррациональных чисел создаёт последовательность, которая в итоге посещает каждое окрестности в многомерном пространстве, порождая порядок из кажущегося хаоса. На любом конечном этапе точки кажутся случайными и непредсказуемыми. Однако, рассматриваемые в целом, они демонстрируют идеальную равномерность, заполняя пространство с математической точностью. Это один из основополагающих результатов теории эргодических систем — отрасли математики, изучающей долгосрочное поведение систем, эволюционирующих по простым правилам. Теорема также демонстрирует, как детерминированные процессы могут порождать поведение, кажущуюся случайным, хотя на самом деле оно следует точным фундаментальным законам. Помимо своей элегантности как чистой математики, теорема Кронекера имеет удивительно широкое применение в современной науке и технологиях. В физике она описывает движение маятников с иррациональными соотношениями частот, орбиты планет при определённых условиях и эргодическое поведение физических систем, которые поддерживают статистическую механику и термодинамику. В информатике она вдохновляет методы для создания равномерно распределённых последовательностей чисел, используемых в численном интегрировании, компьютерной графике, финансовом моделировании и методе Монте-Карло.

⚡️Дилемма современности: как выбрать правильную профессию в цифровом мире? Каждый год тысячи семей сталкиваются с этим: ребёнок заканчивает школу, экзамены, репетиторы, высокие требования при поступлении, сокращение бюджетных мест — для родителей это финансовый стресс, а для абитуриентов — ментальный. Ведь нужно не только получить максимальный балл, но ещё и выбрать, куда поступать, чтобы не прогадать! Согласно масштабному всероссийскому опросу, одним из самых больших страхов респондентов является риск получить невостребованную профессию. Помимо этого, большинство абитуриентов и родителей сошлись во мнении, что формальный диплом больше не «в тренде» и нужна уверенность в завтрашнем дне: чтобы образование окупилось и не нужно было переучиваться на более доходную специальность. Одним словом, при выборе учебного заведения нужно учесть массу факторов и желательно, чтобы всё сошлось. Это крайне сложная задача, но благо к грядущему сезону поступлений абитуриенты и родители сформировали топ из самых ведущих профессий современности, куда вошла ИТ-сфера. Родители поставили её на 1 место, а абитуриенты — на 2, и эта статистика теперь действительно помогает многим правильно выбрать нужный университет!

Важная математика без формул!

На первый взгляд нормальное, пуассоновское, биномиальное, экспоненциальное и другие распределения выглядят как отдельные математические конструкции. На самом деле они образуют связанную систему: одно распределение может переходить в другое через точное преобразование, частный случай или предельный процесс. Например, при большом числе испытаний и малой вероятности отдельного события биномиальное распределение приближается к пуассоновскому. Экспонента нормально распределённой величины имеет логнормальное распределение, бета-распределение с параметрами 1,1 превращается в равномерное, а распределение Стьюдента с одной степенью свободы совпадает с распределением Коши. Особенно много стрелок ведёт к нормальному распределению — во многом благодаря центральной предельной теореме.

Почему нейросеть умеет придумывать идеи, но пока не умеет мыслить как исследователь Есть довольно удобная иллюзия: если языковая модель выдала новую, логичную и технически убедительную идею, значит она уже почти сравнялась с человеком в научном мышлении. Авторы новой работы решили проверить не качество отдельных ответов, а сам «вкус» исследователя — то, какие проблемы человек и модель замечают в одной и той же литературе и каким способом пытаются их решить. Для этого взяли 11 683 опубликованные работы по машинному обучению и естественным наукам, восстановили набор предшествующих статей, из которых могла родиться каждая работа, а затем показали этот же контекст разным LLM. Человеческой идеей считалась реально опубликованная статья, модель должна была предложить собственное продолжение на основе тех же исходных материалов. Разрыв обнаружился не столько в том, способны ли модели придумать что-то разумное, сколько в том, насколько однообразно они это делают. Когда LLM видит рядом несколько работ, её любимый ход — найти между ними связь и предложить всё объединить: совместить два метода, связать разные направления, интегрировать данные, построить единую архитектуру. Среди человеческих идей только 12,1% были построены вокруг такого «моста» между существующими подходами. У моделей этот показатель составлял от 47,1 до 64,2%. Аналогичная картина с методами: синтез и объединение были главным приёмом лишь в 5,1% человеческих работ, но в 22,5–38,7% идей, созданных нейросетями. Получается, что модель часто действительно предлагает полезный проект, но делает это по одному и тому же рецепту: возьмём известную технологию, добавим к ней ещё одну известную технологию и объявим их соединение новым исследованием. Человеческие идеи устроены иначе. Исследователь гораздо чаще замечает конкретную трещину внутри уже существующего механизма: неверное допущение, смешение двух эффектов, плохо работающий модуль, отсутствие объяснения или способа измерения. Поэтому в человеческих работах чаще встречаются действия вроде «заменить», «разделить», «формализовать», а не просто «объединить». Например, модель может предложить соединить мультимодальную систему с адаптацией во время тестирования и получить универсальную архитектуру. Человек скорее спросит, почему конкретный компонент перестаёт работать при изменении данных, отделит влияние одного фактора от другого и заменит наиболее хрупкую часть системы. В первом случае идея выглядит масштабно и современно, во втором — может звучать скромнее, но точнее попадает в настоящий научный тупик. Особенно интересно, что расширенное рассуждение не исправило проблему. В режиме thinking модели не стали ближе к человеческому распределению идей, а, наоборот, ещё сильнее закрепились в привычном шаблоне. У Qwen доля идей, построенных на соединении разных подходов, выросла с 49,7 до 71,1%, а доля методов синтеза — с 38,7 до 52,2%. То есть дополнительное «мышление» в данном случае не расширило пространство вариантов, а помогло модели убедительнее и последовательнее прийти к своему любимому ответу. Даже полный текст предыдущих исследований вместо одних аннотаций не решил проблему: больше контекста не обязательно означает другой способ видеть проблему. Из этого, конечно, не следует, что LLM бесполезны для науки. Они прекрасно ускоряют поиск связей, перебор комбинаций и упаковку ещё неоформленной мысли. Но пока модель скорее сильный комбинатор, чем носитель исследовательского вкуса. Она умеет быстро построить мост между уже известными объектами, но реже замечает, что один из этих объектов вообще нужно разобрать, переопределить или выбросить. Поэтому наиболее продуктивная работа с нейросетью начинается не с просьбы «придумай новую идею», а с человеческого указания на точный конфликт: что здесь не объяснено, какое допущение кажется ложным, где система ломается и какой механизм мы на самом деле хотим понять. Нейросеть может развить такую постановку гораздо быстрее человека, но сам выбор того, куда смотреть, пока остаётся главным человеческим преимуществом.

МЕЧТА! Зачем кому-то может понадобиться LaTeX в терминале? Я задавал себе тот же вопрос. Потом я построил движок для рендеринга математики. Я больше никогда не вернусь назад. Автор https://x.com/thatmagicalcat_

Профессор РАН Андрей Соболевский о теореме Ферма: Забавно, что для человека с улицы самыми известными являются задачи, которые практической важности не имеют. Например, почему-то очень популярна Великая теорема Ферма про то, что некое уравнение не имеет решений в целых числах Это старая математическая задача, которую пыталась решить масса людей, совсем далеких от математики. Это было целое общественное явление "ферматистов", которое полностью исчезло после того, как теорема была доказана Она не попала в число семи проблем тысячелетия, потому что в конце ХХ века ее решил замечательный английский математик Эндрю Вайлс. Но сначала он опубликовал решение, в котором обнаружили пробел Представляете, какими сложными были для него следующие два года, когда он пытался эту дырку заполнить? Он ее заполнил, но за это время ему исполнилось 40 лет, а медаль Филдса, как известно, дается ученым до 40 И тогда на следующем Всемирном математическом конгрессе Вайлсу впервые и единственный раз была вручена специальная не золотая, а серебряная медаль Филдса — за мужество, с которым он довел это дело до конца Из интервью А.Соболевского "Огоньку"