SHIZ и Милка

Примерно через 50 минут (в 18:30 по мск) постримлю решения задач с первого этапа ШАДа в том количестве, на которое сил хватит. https://youtube.com/live/YVH5JrQ0GnE https://youtube.com/live/YVH5JrQ0GnE https://youtube.com/live/YVH5JrQ0GnE

03:07:42 Задача 20 Достаточно стандартная задача из темы вычисления производной решения ОДУ по параметру. Хотя с другой стороны далеко не в каждом вузе эта тема входит в перечень тем стандартного курса ОДУ. 03:22:31 Задача 21 (производная решения ОДУ по параметру) Аналогично задаче 20, но тут пришлось вспомнить о том, что иногда стоит обращаться к теореме о существовании и единственного задачи Коши. 03:41:11 Задача 23 Стандартная, но душноватая задача, где нужно решить квазиоднородное ОДУ первого порядка. 03:52:54 Задача 24 Аналогично предыдущей задаче, но уровень духоты выше, так как уравнение уже второго порядка. 04:08:55 Задача 38 (гауссова кривизна и теорема Гаусса-Бонне) Задача, где необходимо вычислить интеграл по всей поверхности от гауссовой кривизны заданной поверхности. Задача сводится к применению теоремы Гаусса-Бонне и исследованию топологии поверхности. 04:40:34 Задача 46 В целом стандартная задача на построение конформного отображения. Эту тему у себя на канале ещё ни разу не освещал. 04:55:54 Задача 50 (вычисление интеграла через вычеты) Достаточное стандартная задача на вычисление преобразования Фурье с помощью инструментария ТФКП. Нужна теорема Коши о вычетах и лемма Жордана, если быть точным. 05:10:52 Задача 59 Здесь рассказал элементы теории уравнений в частных производных первого порядка. Много внимания уделено существованию и единственности задачи Коши для УЧП первого порядка. 05:25:49 Задача 60 Аналогично предыдущей задаче. 05:38:37 Задача 63 Аналогично предыдущей задаче. 05:50:14 Задача 65 Решение этой задачи превратилось в лекцию по теории гармонических функций. Также мной приведено простое "решение", которое основано на рассуждениях самого Арнольда в одной из его книг. Книга прикреплена выше. 06:23:07 Задача 78 Первый и пока что единственный раз в жизни решил систему двух гиперболических уравнений в частных производных второго порядка и задачу Коши для этой системы. 06:49:22 Задача 79 () В целом достаточно стандартная задача на решение краевой задачи для ОДУ второго порядка в зависимости от параметра. 07:12:40 Задача 80 (интегральное уравнение) Здесь нужно было решить достаточно стандартное интегральное уравнение, которое тем не менее таило в себе технические нюансы и сложности. 07:29:29 Задача 81 (функция Грина) В этой задаче нужно было решить интегральное уравнение с помощью нахождения функции Грина линейного дифференциального уравнения. Впервые у себя на канале коснулся этой темы. Постарался рассказать не только алгоритм нахождения функции Грина, но и элементы её идейного смысла. 07:53:37 Задача 85 Здесь нужно было привести n-мерный эллипсоид к каноническому виду. Здесь нужно было воспользоваться некоторыми фактами о собственных значениях и собственных векторах матриц. 08:13:55 Задача 86 В этой задаче доказал очень занимательный факт: сумма квадратов расстояний от прямой, проходящей через центр правильного многогранника, до всех вершин этого многоранника является постоянной величиной, не зависящей от направления прямой. 08:47:11 Задачи 89 и 90 Очень простые задачи (относительно всего остального), которые между собой связаны скобками Ли, о которых и рассказано по итогу. 08:56:38 Задача 92 В этой задаче немного исследована группа симметрий куба и группа вращений куба. Приведены некоторые соображения по поводу того, почему группа вращений куба изоморфна группе перестановок на четырех элементах. 09:08:41 Задача 99 Тут решил достаточно милую, но контринтуитивную задачу по теории игр. 09:30:22 Задача 100 Здесь нужно было найти математическое ожидание площади проекции единичного куба при изотропно распределенном направлении проецирования. Мной было доказано гораздо более утверждение из интегральной геометрии (очередная теорема Коши): математическое ожидание площади проекции произвольного выпуклого тела при изотропно распределенном направлении проецирования равно одной четверти площади поверхности этого тела.

Впервые решил написать о структуре ролика тут в ТГ, чтобы вы осознали масштаб проделанной работы. 00:00:00 Вступление 00:06:49 Задача 1 Задача школьного уровня, где нужно нарисовать графики производной и интеграла от свободно начерченного графика. 00:14:47 Задача 2 В некотором смысле уже легендарная задача. Необходимо вычислить предел отношения двух разностей аналитических функций. Существует лобовое решение в виде разложения функций в ряд Маклорена, однако такое решение является невероятно громоздким. Из-за этого мне пришлось придумать и доказать определенную теорему. Потом на просторах Интернета я нашёл сформулированной мной теоремы, но доказательство у меня вышло немного отличающимся от того, что я нашёл. 00:44:06 Задача 3 Задача, которая на первый взгляд кажется задачей на проверку условий Коши-Римана для функции комплексного переменного. Но это задача из теории особенностей дифференцируемых отображений, необходимые азы которой я рассказал. 00:59:22 Задача 4 Стандартная задача на вычисление сотой производной функции одной переменной. 01:03:07 Задача 5 Снова стандартная задача на вычисление сотой производной функции одной переменной. Но теперь для нахождения приближенного значения сотой производной в точке пришлось вспомнить формулу Стирлинга для асимптотики факториала. 01:12:30 Задача 6 Стандартная задача на построение графика параметрически заданной кривой. 01:37:02 Пара слов о задаче 8 Крайне нетривиальная задача, которую, например, можно решить методом множителей Лагранжа. В ролике лишь сказал несколько слов о статье с полным решением задачи. Статья прикреплена выше. 01:42:27 Задача 9 Классическая задача-мем о несуществовании минимума для определенного многочлена от двух переменных. 01:47:53 Задача 10 Относительно стандартная задача исследования асимптотики решения полиномиального уравнения. 02:00:13 Задача 11 Задача с подвохом на исследование сходимости несобственного двойного интеграла. На первый взгляд кажется очевидной сходимость интеграла, но по итогу приходится осознать, что нужно доказывать расходимость. Мне удалось придумать достаточно лаконичное и простое решение. 02:08:49 Задача 12 Ещё одна задача с подвохом на вычисление потока векторного поля. На первый взгляд кажется, что можно воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского, но это будет ошибкой. На одном французском форуме, где разбираются задачи Тривиума Арнольда, даже приведено это ошибочное решение. По итогу пришлось обратиться к теореме Гаусса из электростатики. Эта теорема была в ролике мной доказана. 02:27:53 Задача 14 (приближённое вычисление несобственного интеграла) Интересная задача о приближенном вычислении несобственного интеграла. Решение основано на идее того, что значение интеграла "сосредоточено" в одной точке. В этой точке интеграл был заменен на интеграл Пуассона от функции exp(-ax^2). 02:45:15 Задача 16 В этой задаче показал наиболее лаконичный способ вывода формулы гиперобъёма n-мерного шара. 02:57:49 Задача 18 В этой задаче было необходимо вычислить n-мерное обобщение интеграла Гаусса. Основная часть решения задачи опирается на решение задачи 85, которая также разобрана.

Использованная литература

Сначала мужчины говорят, что у них нет депрессии, а потом выпускают 10-часовой ролик с решениями задач из печально известного Тривиума Арнольда. Тривиум Арнольда — это неформальный сборник из 100 фундаментальных математических задач, который составил выдающийся математик Владимир Арнольд и опубликовал в своей статье "Тривиум". Сборник охватывает различные области: от алгебры и геометрии до теории вероятностей, теории игр и уравнений математической физики. При этом задачи должны быть понятны и решаемы любым физиком или математиком — от студента до академика. Название иронично позиционирует набор задач как необходимый минимум знаний. В этой статье Арнольд прямо жаловался на катастрофическое падение уровня математической культуры, особенно среди студентов и выпускников. «Тривиум» был создан как проверка на математическую зрелость и как лекарство от формального, бездумного изучения математики. Тем не менее за 10 часов ролика я решил лишь 35 задач из 100. На самом деле набор этих задач является простым, скорее всего, лишь для самого Арнольда. Суммарно на решение всего лишь трети Тривиума я потратил сильно больше обозначенных 10 часов. Прошу вас очень сильно поддержать данный ролик, так как считаю его своим magnum opus к данному моменту развития канала. Уровень математичности данного ролика является зашкаливающим лично по моему мнению. Мне потребовалось невероятно много сил, чтобы максимально просто, насколько это вообще возможно, рассказать о тяжёлых вещах. Мной было найдено немало обобщений и достаточно лаконичных решений разобранных задач. Считаю, что осознание содержания данного ролика способно серьёзно повысить уровень вашей математической культуры. https://youtu.be/3fgZlpH0N_M https://youtu.be/3fgZlpH0N_M https://youtu.be/3fgZlpH0N_M

У меня нет депрессии

Внеформатный ролик от меня с визуальным ответом на вопрос о том, почему математика красива. https://youtu.be/yt7w4klnO-w https://youtu.be/yt7w4klnO-w https://youtu.be/yt7w4klnO-w

Решил сделать небольшой ролик с рассуждением на тему свободы воли. Рекомендую поддержать его, если хотите, чтобы я время от времени выпускал ролики не только про математику. https://youtu.be/UO_cAvEcfNU https://youtu.be/UO_cAvEcfNU https://youtu.be/UO_cAvEcfNU

В этом посте посоветую литературу по математическому анализу, алгебре, аналитической геометрии и дифференциальным уравнениям. Если считаете, что я не упомянул какую-то критически важную литературу, то можете дополнить меня в комментариях. 1) Математический анализ — В качестве основного учебника я бы рекомендовал брать трёхтомник "Курс дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольца. В целом в этом учебнике всё описано достаточно человеческим языком, приведено немалое количество практических примеров. Также есть множество контрпримеров, показывающих существенность тех или иных условиях во многих теоремах. Единственным существенным недостатком, на мой взгляд устаревшая терминология (хотя не знаю, как с этим обстоит дело в новейших изданиях). — В случае, если вы уже хорошо знакомы с математическим анализом и хотите углубить свои знания в данной дисциплине, то вам, безусловно, подойдёт "Математический анализ" Зорича. Здесь подчеркну, что я бы крайне не рекомендовал этот учебник тем, кто сталкивается с математическим анализом впервые в жизни. Данный учебник очень строго, глубоко и системно излагает математический анализ, однако, на мой взгляд, он точно не для новичков. — В качестве задачника в подавляющем большинстве случаев вам хватит обычного советского "Сборника задач и упражнений по математическому анализу" Демидовича. В случае, если хочется ещё больше сложных задач, то можете взять трёхтомный "Сборник задач по математическому анализу" Кудрявцева. 2) Линейная алгебра и элементы общей алгебры — На мой взгляд, оптимальным учебником является "Курс алгебры" Винберга. Это образец ясности и стройности изложения. Весь классический университетский курс изложен лаконично, но без потери глубины. Книга не акцентируется на душных вычислениях, а учит алгебраическому мышлению, связывая алгебру с геометрией. — В противовес я бы не рекомендовал "Введение в алгебру" Кострикина. На мой взгляд, он является излишне перегруженным и технически тяжёлым. Мне кажется, что прийти к современному взгляду на алгебру крайне тяжело, используя учебник Кострикина. — Но в качестве задачника по линейной алгебре как раз можно взять "Сборник задач по алгебре" Кострикина, он содержит достаточно полный и объёмный перечень задач по всем основным темам. 3) Аналитическая геометрия — Для начала в качестве учебника рекомендую первые четыре главы "Курса аналитической геометрии и линейной алгебры" Беклемишева. Вся необходимая база изложена в достаточном объёме. — Если хочется наиболее полно и системно подойти к аналитической геометрии, то лучше всего подойдет "Аналитическая геометрия" Постникова. — В качестве задачника можно взять "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре" Беклемишева. 4) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — В качестве учебника для освоения базовой программы курса ОДУ можно взять "Курс дифференциальных уравнений" Степанова. — Если вы уже знакомы с дифференциальными уравнениями и хотите взглянуть на них гораздо более идейно и геометрично, то крайне рекомендую "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Арнольда. — И пока что не придумали лучше задачника, чем "Сборник задач по дифференциальным уравнениям" Филиппова.

Вообще явно не все в курсе, но у меня есть второй ТГ-канал, где я пишу о математике что-то более конкретное и, возможно, практически полезное. Рекомендую подписаться (моё настроение является монотонно возрастающей функцией от числа подписчиков)